0 引言

    目前氣動薄膜調節閥在航空產(chan)品測(ce)試(shi)臺中的(de)應用(yong)十分廣泛，一種常見(jian)的(de)應用(yong)見(jian)圖1所示。

圖1 氣動薄膜調節閥用于(yu)氣體壓力(li)控制框(kuang)圖(tu)

    然而，實際工程中(zhong)使用(yong)PI算法對(dui)這類對(dui)象控制(zhi)(zhi)時(shi)，控制(zhi)(zhi)精(jing)度(du)不高，其中(zhong)一(yi)個(ge)具體的表現(xian)是測壓(ya)點(dian)的壓(ya)力容(rong)易出現(xian)波動(dong)。

    為解(jie)決工(gong)程中控制精度不高(gao)的(de)(de)問(wen)題，應首(shou)先(xian)建立控制對象的(de)(de)一(yi)個合適的(de)(de)模型(xing)。

    研究了氣動薄膜閥的結構與執行機構工作原理，在給出氣動薄膜閥的結構的基礎上發展了一個動態仿真模型，研究了運動閥芯動態不平衡力，以理想氣體特性為基礎，分別建立了減壓閥充填過(guo)程動態數(shu)學模型和減(jian)壓(ya)器工(gong)作過(guo)程的數(shu)學模型。

    這些文獻(xian)沒有(you)作出(chu)關于圖1所示系統的模型，但可作為展開進一步研究(jiu)的基礎(chu)。

    為(wei)便于對(dui)工程問題進(jin)行分析與仿真，以獲得線性(xing)系統模型為(wei)目標展開研究(jiu)工作。

    1 氣動薄膜調節閥控制模型

    描(miao)述了氣動薄膜調節(jie)閥(fa)(fa)的(de)基本結(jie)構及(ji)工作原理(li)（見圖2所示），可以將理(li)想狀(zhuang)態下的(de)氣動薄膜調節(jie)閥(fa)(fa)的(de)運動機構看(kan)作是質量－彈簧(huang)－阻尼(ni)系(xi)統(tong)，給出(chu)了它的(de)動態方(fang)程(cheng)：

        （1）

    式中：m，k，g是常數，實際上，令，有

        （2）

圖2 氣動薄膜調節閥

    進一步考慮式（2）中的摩擦力f，作為動摩擦力可以與式中阻尼項合并。另外，還要考慮系統的靜摩擦力f₀，于是(shi)得到(dao)垂直安(an)裝時調節閥的(de)運動方程：

       （3）

    式中：m＞0：與執行閥桿剛性連接的運動部件總質量，η＞0：運動阻尼系數，k＞0：彈簧的彈性系數，x：閥桿位移，f_s：信號壓力在薄膜上產生的推力，f_t：調(diao)節閥所(suo)控流體在(zai)閥芯上的(de)壓力差產生的(de)不平衡力。

    由式（3），令，得到氣動薄膜調節閥模型在時的狀態(tai)空(kong)間表達(da)式：

        （4）

    結論1：時，氣動薄(bo)膜調節(jie)閥控(kong)制模型是能控(kong)且(qie)能觀的。

    證明(ming)：令式（4）中系(xi)統矩陣、輸入矩陣、輸出(chu)矩陣分(fen)別為(wei)A，B，C，則

    rankM＝2，因此式（4）表達的系統是能控(kong)的。

    rankN＝2，因此式(shi)（4）表達(da)的(de)系統是能觀的(de)。

    氣動薄膜調節閥工作時f_t受流體動壓的影響。指出在閥芯作勻速運動、進口流速固定、進出口壓差固定等特定條件下，f_t與閥開度存在著關系，但這些關系是難以用解析式表達的，而且，在更一般的條件下，f_t的變化規律很難掌握。因此，將f_t看(kan)做輸入向量中的擾(rao)動(dong)分(fen)量。可將(jiang)式（4）進一(yi)步寫為：

        （5）

    結論2：當，且將f_t固定(ding)為某個值(zhi)時，氣(qi)動薄膜調節(jie)閥控(kong)制模型是(shi)能控(kong)且能觀的。

    證明：在式（2－4＊）中令f_t＝δ（δ是常數），有

    將（f_s－δ）看(kan)做控制輸入，使(shi)用結論(lun)1的證(zheng)明方法即(ji)可得證(zheng)。

    式（4）中y表示調節(jie)(jie)閥(fa)(fa)的閥(fa)(fa)桿位置輸(shu)出，它決定(ding)調節(jie)(jie)閥(fa)(fa)提(ti)供給流(liu)(liu)體的流(liu)(liu)通面積(ji)S，根據不同形狀的閥(fa)(fa)芯，S與y有不同的函數關系，對于具有某(mou)種流(liu)(liu)量特性(xing)的調節(jie)(jie)閥(fa)(fa)來說，這個(ge)關系是(shi)確(que)定(ding)的，可(ke)以一(yi)般性(xing)地(di)設(she)為(wei)S＝S（y）。

    2 管道中流動氣體壓力模型

    設圖1中進口壓縮空氣壓力為p₁，出口壓力為p₃，測壓點壓力為p₂，調節閥流通面積為S₁，用氣設備消耗氣體時等效流通面積為S₂，節流嘴流通面積為常數S₀，并給出以下假設：

    假設1：圖1系統滿(man)足下列條件：

    （1）工作氣(qi)體為理想氣(qi)體；

    （2）氣體比(bi)熱比(bi)為常數；

    （3）各容腔(qiang)內(nei)溫(wen)度場和壓力場分布均勻(yun)；

    （4）氣體的(de)流動為等熵流動；

    （5）p₁＞p₂＞p₃總是成立。

    在假設1的條(tiao)件下(xia)，得到測(ce)壓(ya)點壓(ya)力動態(tai)方(fang)程(cheng)：

        （6）

    式中：V＞0：管道容積，K＞1：氣體比熱比，介質是理想氣體時等于絕熱指數，R＞0：氣體常數，C₁，C₂：流量系數，與氣體節流處前后的壓差有關，α₁，α₂：容腔內聲速，與容腔內的氣體溫度有關，g₂₁，g₃₂由關系式表達：

    當時，

        （7）

    當時，

        （8）

    式中：（i，j）=（2，1），（3，2）。

    顯然，方程（3-1）是一個非(fei)線(xian)性系統。

    因p_i＜p_j，K＞1，故式（3－2）中g_ij關于單減，于是當時，

         （9）

    式中：（i，j）＝（2，1），（3，2）。

    設，將式（6）寫成

        （10）

    為了避(bi)免(mian)過于(yu)復雜的討論，以工程實際為基礎給出一(yi)個假(jia)設。

    如圖1所示的(de)(de)系統在(zai)實際工程(cheng)中(zhong)可以通過恰當的(de)(de)部(bu)件選擇與(yu)調(diao)整，使當進口壓(ya)縮空氣壓(ya)力(li)(li)和氣體(ti)消耗穩(wen)定(ding)，調(diao)節閥開度固定(ding)在(zai)某個位置時，測壓(ya)點壓(ya)力(li)(li)恒定(ding)。于是有：

    假設2：至少存在一個（p₁，S₁，S₂）的取值，使方程（3－5）中p₂＞0且＝0。

    顯然，若有一組值p'₁，S'₁，S'₂，p'₂使假設2成立，則：

        （11）

    是方程（10）的一個靜態(tai)解，從而(er)：

    （1）可設此時的α₁＝S'₂，β1＝p'₁。此時各容腔的壓力恒定，由C₁，C₂及α₁，α₂含義與特性，故可設此時的C1，C2及α₁，α₂分別為常數β₂，α₂和β₃，α₃。于是，對于式(shi)（10），有：

    式中：Δα_i，Δβ_i（i＝1，2，3）為對應常參數α_i，β_i（i＝1，2，3）的攝動。

    （2）設。當p₁，p₂滿足式（8）條件時，g₂₁＝β‘₄為常數。當p₁，p₂滿足式（7）條件時， 

    由式（9）可得g₂₁＝β’₄+Δβ‘₄（-β’₄＜Δβ‘₄＜0）。從而，在假設2條件下，總可以找到一個固定的β₄∈（0，β’₄），使此時的g₂₁＝β₄。同理，可找到一個固定的α₄∈（0，α‘₄），使此時的g₃₂＝α₄。于(yu)是對(dui)于(yu)式（10），有：

    g₃₂＝α₄＋Δα₄，g₂₁＝β₄＋Δβ₄

    式中：Δα₄，Δβ₄是對應常參數α₄，β₄的攝動。

    設：

    得：

    再令p＝p₂，u_s＝S₁，有：

        （12）

    這是一個具有不(bu)確(que)定性的被(bei)控對象，式(shi)中Δa、Δb分(fen)別是a、b的不(bu)確(que)定性。由前面的分(fen)析知，a＜0，b＞0。

    3 綜合模型討論

    ;由圖1給出的系統結構及式（5）和（12），可以得(de)到：

    結論4－1：滿足條件及假(jia)設3-1、3-2時，氣動(dong)薄膜調(diao)節閥(fa)控制于氣體(ti)壓力可由一組含不(bu)確定(ding)性的線性系統模型表示：

        （13）

    更進一步，討論氣動薄膜閥閥桿位置與流體流通面積為線性關系的情況，即令u（x₁）＝λx₁（λ＞0為常數）。再令p＝x₃，由(you)式（13）可得下面(mian)結論(lun)。

    結論4-2：當滿足條件及(ji)假設(she)3-1、3-2，并且氣(qi)動(dong)薄膜(mo)(mo)閥(fa)(fa)閥(fa)(fa)桿位置與流體流通面積為線性(xing)關系時(shi)，氣(qi)動(dong)薄膜(mo)(mo)調節閥(fa)(fa)控制氣(qi)體壓力時(shi)含有不確定性(xing)的線性(xing)系統模(mo)型表示為：

        （14）

    式中：y_p表(biao)示系統輸出，為圖1測壓(ya)(ya)點壓(ya)(ya)力(li)，其余符號同前面討論中的(de)定義(yi)。

    結論4-3：將f_t固定為某個(ge)值且不確定性Δα=Δb=0時，結論4-2給(gei)出(chu)的系統是(shi)控并且是(shi)能觀的。

    證明：令f_t=δ（是常數），將（f_s-δ）看做控制輸入(ru)，此時(shi)的系(xi)統矩陣、輸入(ru)矩陣、輸出矩陣分別為A，b，c，于(yu)是(shi)，

    顯然rankM＝3，rankN＝3，結(jie)論成(cheng)立。

    4 工程中不確定性影響的仿真分析

    由(you)于現場組(zu)態簡便且參數(shu)整定(ding)(ding)有很多成熟經驗的方法，工程上(shang)應用PI控制算法十(shi)分普遍。一個實用的問題由(you)此提出：哪(na)一種不確(que)定(ding)(ding)性對這個閉環系統的影響更大(da)。

    通(tong)過構造一(yi)個采用PI控制算法的(de)仿(fang)真實例(li)對這個問(wen)題進行分(fen)析，控制對象為(wei)結論4-2中(zhong)給出的(de)線性系統模型(xing)。

    設給定信號為y_ref，k_p，k_i＞0為常數，則控制作用為：

        （15）

    令代入式（15），有

        （16）

    式中：k_p，k_i分(fen)別是PI控制的比例(li)系數(shu)(shu)與積分(fen)系數(shu)(shu)。再綜合(he)式（7），得：

       （17）

    于是，工程中使用PI算法實現氣動薄膜調節閥調節氣體壓力以跟蹤一個給定信號的問題可以描述為：選擇合適的參數k_p，k_i＞0，使式（17）中的輸出y_p跟蹤給定y_ref。討論這個(ge)問(wen)題時，式（17）可(ke)以(yi)很方(fang)便地使用(yong)SIMULINK仿真。

    先構造一(yi)個忽略(lve)不確定性的模型(xing)。假設式（17）中：

    =3.0，給定信號y_ref為單位階躍函數。

    仿照實際工程，對按經驗的方法進行試湊，其中一個仿真結果如圖3所示，此時。

圖3 一個忽略(lve)不確定性的仿真結果

    保持所(suo)有參數不(bu)(bu)變，使用S函(han)數模擬PI調節過(guo)程中出現的(de)不(bu)(bu)確定性(xing)。

    首先設，使系統參數出現攝動，得到的仿真如圖4所示。此時雖然yp出現了較大超調，但仍能跟蹤y_ref。

圖4 帶參數攝動的仿(fang)真結果

    進一步將作用在閥芯上的不平衡力f_t引入仿真。設f_t＝0.2+0.1sint，得到如圖5所示的結果，此時輸出y_p按(an)閥芯擾動(dong)的頻(pin)率波動(dong)。

圖5 帶參數攝動和閥(fa)芯(xin)擾動的仿真結果

    再設Δb＝0，Δα＝0，得到圖6所示的仿真結果，此時輸出y_p仍然按閥(fa)芯擾動的頻率波動。

圖6 帶(dai)閥芯擾動的仿真結果

    由以上仿真可以看出，使y_p無法跟蹤y_ref的主要原因來自閥芯的擾動，而對于只有參數攝動的系統來說，PI控制具有一定的魯棒性。因此，在使用PI控制算法的實際工程中，若要滿足較高的控制精度要求，應在氣動薄膜調節閥上增加閥門定位器附(fu)件，以減(jian)少不平衡力的影響。

    5 結論

    氣動薄膜調(diao)節閥用于氣體(ti)壓(ya)力控(kong)制這類(lei)控(kong)制對(dui)象(xiang)是一個典型(xing)的非(fei)線(xian)性(xing)滯后系統，以工程實際為基(ji)礎給(gei)出假設并且恰當引入(ru)不確定性(xing)，是對(dui)這類(lei)控(kong)制對(dui)象(xiang)進行(xing)線(xian)性(xing)系統建模的關鍵方法(fa)。這個方法(fa)不但使建模過程簡化，而且得到的模型(xing)在討(tao)論工程問題時具(ju)有實用性(xing)。

    結論2-1和2-2給(gei)出了氣(qi)動薄膜調節(jie)閥的狀態空間表達式和基(ji)本性質，是對這類控制對象建(jian)模(mo)的基(ji)礎，也可以用(yong)于其它使用(yong)氣(qi)動薄膜調節(jie)閥的系統的建(jian)模(mo)與(yu)分析。

    結論4-1、4-2和4-3給出了(le)氣(qi)動薄膜調節(jie)閥用(yong)于(yu)氣(qi)體壓力控制這類控制對(dui)象使用(yong)工程近似化方法得到的線性系統模(mo)型與基本(ben)性質。通過一(yi)個仿真實(shi)例表明(ming)，這些(xie)結論在工程上具有實(shi)用(yong)意義。